Analyse vibratoire: vitesse et déplacement

CALCUL DE DÉPLACEMENT ET DE VITESSE À PARTIR DE L' ACCÉLÉRATION VIBRATOIRE

Notions

Il est assez simple d'appliquer des techniques d'intégration «classiques» pour calculer le signal de la vitesse temporel à partir d'un signal d'accélération vibratoire ou calculer le signal de déplacement correspondant à partir du signal de la vitesse vibratoire. La méthode standard consiste à calculer l'aire sous la courbe appropriée. Si la courbe suit une fonction déterministe connue, une solution numériquement exacte peut être trouvée; si elle suit une fonction non déterministe, une solution approximative peut être atteinte en utilisant des techniques d'intégration numérique telles que l'intégration rectangulaire ou trapézoïdale. Les données réelles mesurées appartiennent à cette dernière catégorie. Cependant, si les données vibratoire contiennent une petite quantité de composants de basses fréquences ou un offset, ils peuvent souvent conduire à des résultats trompeurs (bien que numériquement corrects). Le problème n'est pas causé par la perte d'informations durant le processus de numérisation; elle n'est pas non plus due aux effets de la quantification d'amplitude ou de temps; c'est en fait une caractéristique des fonctions trigonométriques intégrées que leurs amplitudes augmentent avec la baisse de fréquences.

13.1. Mathématiques pour l'analyse vibratoire

Considérons un signal vibratoire de forme d'une seule sinusoïde d'amplitude A et de fréquence f. Cela peut être représenté mathématiquement par :


y(t) = A sin(2πft)

L'intégrale indéfinie de cette forme d'onde est donnée par:

∫ y(t).dt = C - A 2πf cos(2πft)

De cela, on peut voir que l'amplitude de la composante oscillatoire est inversement proportionnelle à la fréquence: quand la fréquence augmente, l'amplitude diminue. Cela peut être démontré graphiquement comme suit. On pourrait générer une onde sinusoïdale numérique d'amplitude unitaire et de fréquence de 10 Hz. La forme d'onde résultante et l'intégrale de cette forme d'onde sont représentées dans les figures 1 et 2.

Analyse vibratoire: signal vibratoire de 10Hz
Figure 1. une sinusoïde de 10Hz

Analyse vibratoire: signal vibratoire de 10Hz intégré
Figure 2. une sinusoïde de 10Hz intégrée

Analyse vibratoire: signal vibratoire de 1Hz
Figure 3. une sinusoïde de 1Hz

Analyse vibratoire: signal vibratoire de 1Hz integrée
Figure 4. une sinusoïde de 1Hz intégrée

Si l'on compare maintenant les résultats obtenus de la sinusoïde de 10 Hz avec ceux d'une sinusoïde de même amplitude mais avec une fréquence inférieure de 1 Hz (comme le montrent les figures 3 et 4), alors il est immédiatement évident que le signal intégré de 1 Hz est 10 fois plus grand que celui de 10Hz.

Lorsque les deux signaux sont additionnés, les résultats obtenus sont affichés dans les figures 5 et 6. Comme on peut le voir clairement, le comportement des basses fréquences domine sur le signal obtenu (intégré) et la caractéristique oscillatoire de la forme d'onde d'origine est moins notable.

Analyse vibratoire: somme de deux signaux vibratoires
Figure 5. Somme de deux sinusoïdes (1Hz + 10Hz)

Analyse vibratoire: intégrale de la somme de deux signaux vibratoires
Figure 6. L'intégrale de la somme de deux sinusoïdes (1Hz + 10Hz)

Analyse vibratoire: inverse de la somme de deux signaux vibratoires
Figure 7. L'inverse de la somme de deux sinusoïdes (1Hz + 10Hz)

Analyse vibratoire: intégrale de l'inverse de la somme de deux signaux vibratoires
Figure 8. L'intégrale de l'inverse de la somme de deux sinusoïdes (1Hz + 10Hz)

Non seulement l'amplitude de la composante de basse fréquence est importante, mais la phase est également cruciale car elle peut avoir un effet significatif sur la forme brute de la sortie de l'intégrale. Une inspection de toutes les formes d'onde de sortie de l'intégrale montrées ci-dessus révèle qu'au lieu d'être bipolaires comme l'entrée, elles sont toutes majoritairement positives. Ceci est une conséquence du fait que la phase des signaux sinusoïdaux d'entrée est nulle. Si les phases de démarrage étaient retardées de 180 degrés, les sorties seraient majoritairement négatives, comme le montrent les figures 7 et 8.

13.2. Les effets de loffset

Maintenant, on va étudier ce qui se passe lorsqu'il y a un décalage (CC) présent dans le signal vibratoire d'entrée. Si le décalage a une amplitude k positive, alors:

y(t) =k

L'intégrale indéfinie de cette forme d'onde vibratoire est donnée par:

∫ y(t).dt = C + kt

C'est une rampe de pente croissante proportionnelle à la grandeur (et au signe) de k. De la même manière que les basses fréquences qui peuvent dominer la forme d'une onde intégrée, la présence d'un petit décalage (offset) CC peut complètement modifier la structure et l'amplitude d'un signal intégré comme le montre l'exemple suivant.

13.2. Exemple de vibrations d'un moteur

Le graphe 9 montre les données d'un signal d'accélération vibratoire relevé à partir d'un accéléromètre fixé sur un moteur. Si ce signal est intégré sans modification, alors la forme d'onde de la vitesse résultante ressemble à celle de la figure 10 avec une grande rampe croissante manifestement provoquée par un faux CC (offset) ou des contributions de basses fréquences.

Analyse vibratoire: signal d'accélération d'un moteur
Figure 9. Signal d'accélération vibratoire d'un moteur

Analyse vibratoire: signal de vitesse d'un moteur
Figure 10. Signal de vitesse vibratoire (intégré)

Analyse vibratoire: signal d'accélération filtré passe haut
Figure 11. Signal d'accélération vibratoire d'un moteur après filtrage passe haut

Analyse vibratoire: signal de vitesse filtré passe haut
Figure 12. Signal de vitesse vibratoire d'un moteur après filtrage passe haut

Si, cependant, le signal d'accélération est filtré passe-haut à 5 Hz, alors la forme d'onde vibratoire résultante est toujours essentiellement la même que celle que l'on peut observer sur la figure 11. Lorsque le signal filtré est intégré, la forme d'onde de vitesse vibratoire résultante ressemble maintenant à celle de la figure 12. Elle présente clairement une forme plus plausible du comportement oscillatoire.

13.3. Choix de la fréquence de coupure passe-haut

Les intégrateurs analogiques de vibrations disponibles dans le marché choisissent généralement des fréquences de coupure passe-haut de 5 Hz pour la vitesse et de 10 Hz pour l'accélération. Ceci est dans le contexte d'une plage d'analyse attendue de 10 KHz. Ce qui signifie qu'en fonction de la plage de travail, les filtres sont réglés pour être inférieurs ou égaux à 0,05% et 0,1% respectivement. Si possible, il est préférable de choisir une fréquence de coupure passe-bas qui n'est pas supérieure à 50% de la fréquence d'intérêt la plus basse ; par exemple, lors de l'analyse jusqu'à 6 Hz, la fréquence de coupure doit être réglée sur 3 Hz. Normalement, des filtres avec des caractéristiques Butterworth sont utilisés à la fois pour le pré et le post-filtrage, mais d'autres tels que Tchebysheff peuvent également être utilisés, bien que l'utilisateur doive être conscient que les taux de coupure varient d'un filtre à l'autre.

13.4. Pré et post-filtrage

Le concept de post-filtrage (après intégration) a été évoqué dans la section précédente. Cela est parfois nécessaire pour supprimer les basses fréquences résiduelles / les décalages CC qui apparaissent parfois après l'intégration d'un signal (comme dans l'exemple de vibrations du moteur illustré ci-dessus). La pratique courante consiste à appliquer le même post-filtre que le pré-filtre.

13.5. Validation de la méthode d'intégration

Afin de vérifier que la procédure combinée (filtre + intégration) donne le bon résultat, il est utile de pouvoir valider les résultats à l'aide d'un signal déterministe à l'entrée dont l'intégrale peut être prédite mathématiquement. Par exemple, si l'on génère une sinusoïde d'amplitude 3,0 et d'une fréquence de 10 Hz avec une fréquence d'échantillonnage de 1024 échantillons/s, lorsqu'elle est intégrée, elle doit produire un cosinus d'amplitude 3,0(2 π 10)= 0,04775. La valeur correspondante lorsqu'elle est calculée à partir d'une onde vibratoire synthétisée donne une réponse (après stabilisation) de 0,04771 qui représente une erreur de moins de 0,1%.


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